W Polsce panuje tradycja, że pierwszy dzień świąt Bożego Narodzenia lub Wielkiej Nocy spędzamy w gronie najbliższej rodziny, natomiast w drugim odwiedzamy znajomych, przy okazji oddając się rekreacji. Nikomu nic nie narzucam, albowiem hołduję szatańskiej zasadzie "róbta co chceta", ale jeśli nie chce nam się wyjść z domu, to przynajmniej - zamiast gapić się bez sensu w telewizor - pogimnastykujmy mózg.
Proszę zapoznać się z treścią poniższej odezwy do ludzi pióra i odpowiedzieć na dwa pytania:
1. Kto jest autorem tego apelu?
2. Jak "ugryźć" pierwszą formułę, o której autor pisze z nonszalancją, że jest "łatwiejsza, niż się to wydaje"?
Rozwiązanie p-kt 2 należy przeprowadzić "na piechotę", bądź używając jedynie najprostszego kalkulatora czterodziałaniowego. A to dlatego, że autor zadania kalkulatora elektronicznego nie posiadał, gdyż takowych w jego czasach jeszcze nie było.
Zacznę od odpowiedzi na pytanie 2:
Naczelną zasadą rozwiązywania wszelakich zadań jest dokładne przeczytanie i zrozumienie informacji zawartych w opisie. W przypadku zadań rachunkowych dobrze jest oszacować wstępnie wartości, co pomaga w przyjęciu strategii rozwiązywania.
No to do dzieła!
W opisie zadania podano, że obydwie formuły "są w składzie i rezultacie identyczne". Jest to bardzo ważna informacja. Sugeruje bowiem, że kolejne składniki z lewej strony równania mają tę samą wartość po 1, natomiast prawa strona ma wartość 2. Oczywiście musimy to udowodnić.
Spójrzmy na pierwszy składnik. Nie zawracajmy sobie chwilowo głowy karkołomnym pierwiastkiem 97 stopnia, a zajmijmy się liczbą podpierwiastkową.
Jest to iloraz dwóch ułamków właściwych. Pierwszy zabieg to sprawdzenie, czy ułamki da się skrócić, czyli doprowadzić do prostszej postaci. A pełny sukces osiągniemy, gdy uda nam się wyznaczyć największy wspólny dzielnik. Po ostatnich cyfrach w liczniku i mianowniku widać, że pierwszy ułamek można skracać przez 5, a drugi przez 2 (bądź ich wielokrotności). Kilkakrotnie powtarzając ten zabieg dojdziemy do najprostszej postaci. Ja jednak proponuję popatrzyć na ułamki całościowo i spróbować oszacować ich wartości. Zauważmy, że mianowniki są około dwukrotnie większe od liczników. A może dokładnie dwukrotnie? Jest ku temu przesłanka sądząc po ostatnich cyfrach (2⦁5=10 i 2⦁6=12). No to wykonajmy na boku proste mnożenie przez liczbę jednocyfrową:
2 ⦁ 98765 = 197530
2 ⦁ 299874366 = 599748732
Bingo! Okazuje się, że liczby w licznikach były zarazem największymi wspólnymi dzielnikami. No to mamy pod pierwiastkiem 97 stopnia trywialne działanie:
½ : ½ = 1
To ci przechera z tego autora. Chciał nas wystraszyć kuriozalnym stopniem pierwiastka. Ale nie z nami takie numery Schyziu!
Mamy obliczony pierwszy składnik sumy po lewej stronie równania. Zgodnie ze wstępnymi sugestiami jest on identyczny z odpowiednim składnikiem drugiej formuły.
Dobrze idzie, no to jedźmy dalej.
Wymyślając drugi składnik autor pojechał mocno po bandzie. Mam na myśli sześciocyfrowy wykładnik. Z pobieżnych szacunków wynika, że gdyby liczba w nawiasie była nawet minimalnie większa od jedności nie dałoby się jej zapisać, ponieważ składałaby się z gigantycznej ilości cyfr. Ponadto z opisu zdania wynika (na co wcześniej zwracałem uwagę), że obie formuły są w składzie identyczne. W związku z powyższym jest pewne, że różnica w nawiasie musi być równa 1, bo w innym przypadku lewa strona równania byłaby różna od prawej.
A więc rachujmy.
Proponuję wziąć na pierwszy ogień odjemnik ponieważ jest pierwiastkiem kwadratowym - będzie prościej. Musimy przedstawić liczbę podpierwiastkową jako iloczyn liczb, ale takich, które zarazem są łatwym do obliczenia kwadratem. Suma cyfr liczby 142884 wynosi 27, a więc jest na pewno podzielna przez 3, a może i przez 9. Spróbujmy zatem podzielić ją przez 9² = 81 (iloraz musi być liczbą całkowitą).
142884 : 81 = 1764
Kolejno rozkładamy 1764. Też jest podzielna przez 3, ale ponieważ jest mniejsza spróbujmy podzielić przez 6² = 36.
1764 : 36 = 49
Udało się! Wpisujemy pod pierwiastek iloczyn:
81⦁36⦁49 = 142884
Stosujemy twierdzenie mówiące, że pierwiastek iloczynu liczb jest równy iloczynowi pierwiastków tego samego stopnia z tych liczb:
√(81⦁36⦁49) = √81⦁√36⦁√49 = 9⦁6⦁7 = 378
Skoro różnica pierwiastków w nawiasie ma być równa 1 to
³√54439939 = 379
Sprawdźmy przez potęgowanie czy tak jest w istocie:
379³ = 379⦁379⦁379 = 54439939
Doszliśmy zatem do równania:
1+1 = ¹⁷√131072
czyli
2¹⁷ = 131072
Stosujemy twierdzenie o potęgowaniu mówiące, że iloczyn liczb o tych samych podstawach podnoszonych do potęgi jest równy liczbie o tej podstawie podniesionej do potęgi równej sumie poszczególnych wyznaczników.
Rozłóżmy wyznacznik 17 na 4+4+4+4+1 i zapiszmy:
2¹⁷ = 2⁴ ⦁ 2⁴ ⦁ 2⁴ ⦁ 2⁴ ⦁ 2¹ = 16⦁16⦁16⦁16⦁2 = 131072
A więc
¹⁷√131072 = 2
Uff - udowodniliśmy, że obydwie formuły podane przez autora zadania są tożsame. No jak? Nie było to wcale takie trudne.
Odpowiedź na pytanie 1:
Julian Tuwim "Do obywateli pisarzy"
Fragment "Księgi tajemnic magiomatematycznych" publikowanych cyklicznie w rubryce Cicer cum caule, czyli groch z kapustą. Panopticum i archiwum kultury, którą Julian Tuwim prowadził w czasopiśmie "Problemy" od roku 1949 aż do śmierci. Julian Tuwim wyznał: -
Matematyka jest od wielu lat nieszczęśliwą miłością piszącego te słowa. Wpada on, co pewien czas w trans namiętnego zakochania się w tej Tajemniczej Damie, lgnie do niej umizga się, marzy o tzw. posięściu jej i rozkoszowaniu się nią; obiecuje sobie po tym romansie stokroć więcej radości i upojenia, niźli ich zaznał ze swą prawowitą, ale kapryśną i wiarołomną kochanką - Poezją, Wszystko na próżno. Dama jest niewzruszona i ani na cal nie chce przed nim uchylić rąbka swych szat.
Gdybym posiadał zdolność teleportacji w przeszłość, to chciałbym znaleźć się w przedwojennej "Ziemiańskiej" w Warszawie, gdzie bywał Mistrz Julian. Podsunąłbym mu pomysł, aby wyrażenie ³√54439939 zastąpił ³√53582633. Wówczas to demoniczny wykładnik potęgi (999018) nie grałby tylko roli straszaka, a miałby konkretne matematyczne znaczenie.
Dlaczego? To już jest zagadka ode mnie dla Państwa.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz